Για την μαρινάδα. Μέσα στο πήλινο ή σε ένα βαθύ ταψάκι (Γαστρονόμ ) αλατίζουμε το κότσι τρίβοντας το να πάει παντού το αλάτι. Ρίχνουμε τα υπόλοιπα υλικά από πάνω. Το σκεπάζουμε και το βάζουμε στο ψυγείο για 12 ώρες. Ψήσιμο για το κότσι
Την επόμενη μέρα σκεπάζουμε το κότσι με το ελαιόλαδο. Το ψήνουμε σκεπασμένο με το καπάκι από το πήλινο ( ή στο Γαστρονόμ αλουμινόχαρτο) για 2 ώρες περίπου στους 140-150 C. Όταν περάσει η μια ώρα ψησίματος για το αρνί προσθέτουμε και τις πατάτες (αφού τις αλατίσουμε και συνεχίζουμε το ψήσιμο για άλλη μια ώρα όλα μαζί.
Όταν ψηθούν αφαιρούμε τις πατάτες και τις βάζουμε σε ένα ταψάκι με λαδόκολα.
Το ίδιο κάνουμε με το κότσι αρνιού.
Ψήνουμε και τα 2 στους 220 C για 15 λεπτά περίπου ,περιβρέχοντας το κότσι 2-3 φορές με ένα πινέλο με λίγη από την σάλτσα που έχουμε ετοιμάσει.
Για τα μανιτάρια
Βάζουμε μια λαδόκολλα σε ένα ταψάκι τοποθετούμε τα μανιτάρια και περιβρέχουμε με λίγο ελαιόλαδο και αλάτι. Ψήνουμε στο φούρνο στους 120-130 C για 25-30 λεπτά έως ότου αφυδατωθούν.
Για την γραβιέρα
Βάζουμε μια λαδόκολλα σε ένα ταψάκι , τοποθετούμε την τριμμένη γραβιέρα σε μικρά κυκλάκια και ψήνουμε για 4-5 λεπτά στους 140-150 C.
Αφού κρυώσει την σπάζουμε με τα χέρια μας.
Για την σάλτσα
Σε ένα τηγάνι βάζουμε τον ανθότυρο και σιγανή φωτιά τον αφήνουμε να πάρει χρώμα. Αφαιρούμε τον ανθότυρο από το τηγάνι και τον φυλάσουμε.
Ρίχνουμε στο τηγάνι μας το ξύδι να ξεθυμάνει για 1 λεπτό. Προσθέτουμε ,την τσικουδιά και το κρασί, αφήνουμε για 2 λεπτά. Στην συνέχεια προσθέτουμε το μέλι ,το πετιμέζι ,τα αποξηραμένα σύκα και το θυμάρι. Αφήνουμε σε σιγανή φωτιά να γλασάρει η σάλτσα. Τέλος ρίχνουμε τον ανθότυρο και λίγο λίπος από το ψημένο αρνί.
Στήνουμε το πιάτο βάζοντας το κότσι τις πατάτες. Περιχύνουμε με την σάλτσα .Ρίχνουμε τα μανιτάρια πάνω στις πατάτες και την γραβιέρα.